gra לא שימושי -rad רדיינים. רדיין = רק ברדיינים. נניח שיש לנו משולש ישר זוית. היחס בין שתי הצלעות שמול הזוית הישרה, נקבע ע"י הזוית.

Transcript

1 A-PDF MERGER DEMO 56 פונקציות טריגונומטריות במחשבון בד"כ יש אופציות: deg מעלות מניח חלוקת המעגל ל 6 חלקים, כל אחד מעלה למה עשו 6? זה מספר עם הרבה מחלקים וזה גם קרוב ל 65 6 π π 6 π π α α α 6 8 π 6 57 ~ gra לא שימושי -rad רדיינים רדיין רק ברדיינים (כשמדברים ב - π זה רדיינים) אנחנו נתעסק נניח שיש לנו משולש ישר זוית היחס בין שתי הצלעות שמול הזוית הישרה, נקבע ע"י הזוית אם θ היא הזוית בין a לb, אזי היחס b a נקבע על ידה נתבונן במעגל היחידה (הרדיוס הוא ) מתקיים: θ) יקרא גם t ) a cos t,sint מתקיים, ממשפט פיתגורס:

2 ( θ) ( θ) cos + sin θ + θ לפעמים רושמים גם cos sin (זה זהה למה שרשמנו קודם) הוא ננסה לחשב כל מיני זויות, ואת הערכים π בזוית של מדובר במשולש הזהב (,6,9) מדובר במשולש הזהב ולכן היתר 6 rad * cos 6 נתון כי π sin 6 π π π π cos + sin cos + cos π - ועל כן (*) אנחנו פוסלים את האופציה השלילית, כי אנו נמצאים ברביע הראשון נשים לב: sinθ cosθ sinθ tan θ : cosθ π 6 45 π 4 π 6 π 9 4

3 נשים לב : שמאלה מהרביע הראשון לשני π 9 π π cos θ +,sin θ + π π cos θ +,sin θ + ( sin θ,cosθ) כלומר - נתבונן בהזזת הזוית אם הנקודה המקורית היתה נשים לב שהמשולש שנוצר θ,sinθ) ), cos אזי המוזזת תהיה ל (מהרביע הראשון לרביעי) מה שנקבל זה שאם הנקודה המקורית היתה sinθ) ( cos θ, אזי המוזזת תהיה θ θ + 8 θ + π (מהרביע הראשון לשלישי) אזי המוזזת תהיה cos θ + π,sin θ + π cos θ, sinθ חופף למשולש המקורי θ, cos θ,sinθ נתבונן בהפיכת נתבונן בהפיכת θ ל אז אם הנקודה המקורית היתה ( ) sin( θ + π) tan( θ θ) cos( θ + π) sinθ + tanθ cosθ π π sin θ cos θ, cos θ sin θ, ( cos θ,sinθ) נשים לב למסקנה - עוד קצת נוסחאות: ( k ) ( k ) cos θ + π cosθ sin θ + π sinθ, k N כמובן, עקב המחזוריות של המעגל אם אז יתקיים גם ל tan (אבל שם זה קורה כבר בחצי סיבוב) כמובן שזה

4 בואו נחשוב קצת על הגרפים של הפונקציות הטריגונומטריות:

5 cos α+ β cosα cosβ sinα sinβ sin α + β sinα cosβ + cosα sinβ : cos cos cos sin α β α+ α α α α α β : sin α+ α sin α sinα cosα cos α cos α sin α cos α cos α cos α cos cos sin sin sin sin α α α α α α זהויות טריגונומטריות: מסקנות: אבל מתקיים גם: ועל כן:

6 + cosα cos α cosα sin α β + cosβ cos β sinβ sin t cosθ + t t sinθ + t t tanθ נוסחאות שימושיות: θ נסמן t : tan t נוכיח את השיוויון הראשון : θ θ cos sin θ θ θ cosθ cos cos sin θ θ θ cos sin cos t θ θ + t cos + sin θ cos נניח שידוע כי sinθ לכמה שווה θ? קודם כל, ברור כי יש שתי אופציות (רק בטווח π) π θ + k ניזכר ונראה, כי π 6 k, θ a+ או π אזי נובע, כי, sinθ תהי α זוית נתונה מחפשים זוית θ כך ש sinα θ π α + k π θ α+ kπ אזי נובע, cosθ cosα כך ש θ α θ α באופן דומה, אם + kπ נתונה, ומחפשים או

7 נניח ואומרים לך - A sinθ תביא θ קודם כל אם A> או A< כאלה נניח ש sinθ אבל אין בטבלא מה עושים? מדליקים מחשבון, ולוחצים - עונים לו אין arcsin או [ π,π] sin כמובן שנקבל רק תשובות בין

8 תרגול השלמה 6, תזכורת: π, cos α עדיף להסתכל על מעגל + המלצה: כאשר רוצים לדעת משהו אינטלגנטי לדוגמא על היחידה, ולא על הגרף שאלה: בהינתן ערך בטוח[, ], איך אפשר לאתר את התשובה לשאלה איזה θות מתאימות ל cosθ ברור לחלוטין כי יש פתרונות הבעיה היא שאין לנו אף פתרון בטבלא בצורה 5 מדויקת, וגם אין לנו מחשבון אנו נרצה להפוך את הפונקציה cos כמו שעשינו 5, אזי ± 5, גם כאן נרצה להפוך את הפונקציה אבל גם כאן יש לנו את אותה בעיה למשוואה 5 יש שני פתרונות (פונקצית החזקה ופונקצית cos הם לא חח"ע) לכן הגדרנו את + + כפונקציה R R π π sin :,, cos :,, [ ] [ π] [ ] נגדיר מעכשיו את sin,cos כך, נשים לב שבהגדרה זו sin אי-זוגית כדי שהן יהיו חח"ע ועל:

9 עכשיו נתבונן בגרפים של arcsin ו : arccos π arcsin :[, ], arccos :,, [ ] [ π] כנ"ל, ניזכר ב : tanθ π π tan θ :, הפעם נגדיר את R ואז arctanθ נראית כך: π π arctan : R, ו עכשיו ננסה לענות על השאלות

10 כמה פעמים נצטרך לעבור כדי שנגיע ל (, )? ונגיע למסקנה, k π, π? נשאל אבל אני מחפש ערך בטווח לכן נבחר ונקבל כמה שווה ( arcsin( π, + kπ π arcsin( ) π, cosθ cos נזכר כי arccos 4 π ועל כן arccos 4 π π arctan ועל כן, tan נזכר כי arctan 6 6 כעת, ננסה לחשב את ועל כן, אז עבדו עלינו בעיניים ו ] [ arcsin :, π > אבל π arcsin, π θ + kπ 4 כעת, ננסה לחשב את כעת ננסה לחשב את ויהיה דבר כזה במבחן ועל כן + arcsin שאלה: מה יש להגיד על 7π π π 7π 7π arcsin? לכאורה אבל לא! כי,, מה נגיד על sin π 7π π π arcsin sin arcsin sin π arcsin sin arcsin? מכיוון ש sin arcsin sin arcsin? arctan tanπ זה מוגדר אבל טוב, מה יש לנו להגיד על בהכרח תהיה וכעת ו אזי התשובה מוגדר, arctan, tanπ ( ) tan arctan u u? cos( arcsin( ) ) לעומת זאת, מה נגיד על

11 , ועל כן: ( ( ) ) cos arcsin ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) sin arccos? tan arccos? cos arctan? sin arcsin?, ועל כן cos arcsin cos θ + cos θ cosθ ± π π arcsin, ידוע כי ידוע כי לתלמיד החרוץ: משוואת ישרים m+, למה אני מתכוון? כשאני כותב את המשוואה n איב גודין, ד"ר למתמטיקה ופילוסוף בא לי חד משמעית לחנוק את המורים שלכם מהתיכון (a n איב גודין, ד"ר למתמטיקה ורוצח סדרתי ) m+ n, m+ n R { } (,n) ( השיפוע הנקודה נמצאת על הקו (עבור m אי אפשר לקבל כל ישר לדוגמא, אי אפשר לקבל ישר מקביל לציר (כי אז צריך מקדם ל, ויש לנו ) אם רוצים משוואה כללית של a+ b c, a+ b ב c ישר קו כל ( a, b, במישור, נשתמש ) { } מתי שני ישרים מקבילים? כאשר יש להם אותו שיפוע ) m) הערה: לא כל סמיילי הוא פרבולה תשאלו את חברת החשמל, a> {(, a ) } R a, a, אזי אם נתבונן ב מחייכת אם >a, אזי הפרבולה בוכה לדוגמא: זו פרבולה אם אזי הפרבולה לעומת

12 ככל ש a גדול יותר, הפרבולה יותר צרה לדוגמא - לעומת? a a e + e נראה מה ההבדל בין משוואה של חוט עבור a מול

13 נשים לב שהמשוואה הכללית של פרבולה היא כדי להזיז אותה מטה ומעלה + b : ak, c : ak + c ( ) a k c a ak ak c a b c a ואז:, + + בראשית הצירים היא נוסחת הפרבולה הכללית במישור, לאו דווקא עם קודקוד נזכור: b c b b b c a + b+ c a + + a + + a a a + a a a b b c b b c b b 4ac a + + a + + a + a a a a 4a a a 4a b a +, : b 4ac a 4a : b 4, ac b± a ואז, b a יש אותו הסימן בלי תלות ב נבחין בין מקרים: <, אז >, ל ול a b a, ל ול a יש אותו סימן, מלבד עבור + a, אז

14 , ( ) אז ואז b b a + b+ c a a + a 4a + a a u v v u v u+ v, > b b b+ b a a a a a a a a, ולהפך, ו a בעלי סימן הפוך ואז הפרבולה חותכת את ציר ה בנוסף, כאשר ב, אזי (, )

15 86 נושאים: וקטורים, מכפלה סקלרית, מכפלה וקטורית מערכות קורדינאטות קרטיזיות a גליליות b כדוריות c (,, ), (,, ) A z B z מרחק בין שתי נקודות במרחב - ראש הוא: d( AB, ) + + z z z (, ) משוואת מעגל במישור: מעגל - אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה נתונה הוא קבוע (r), כלומר: ( ) + ( ) r (r) הוא קבוע (,, z ) ( ) ( ) ( ) כדור שמרכזו (,, ( ורדיוסו (,, כדור במרחב אוסף כל הנקודות (z שמרחקן מנקודה נתונה + + z z r מה זה? {(,, z) ( ) + ( + ) + z } + ( ) + ( z ), כי זה שווה ל דוגמא: הוא וקטורים במישור ובמרחב וקטור זה קטע מכוון קטעים מכוונים בעלי אותו גודל וכיוון מייצגים את אותו הוקטור נשים לב שאפשר לצייר את אותו הוקטור המון פעמים, וזה יהיה עדיין אותו וקטור נסמן וקטור כך: עקב v - v והיא המרחק בין העקב לראש v כפול משל w הדבר אומר שהאורך של w v v תמיד v v אז ) הוא הוקטור שעקבו וראשו מתלכדים) מסמנים וקטור כך נורמה של וקטור היא לדוגמא ברור כי בנוסף, אם פעולות בסיסיות של וקטורים:

16 חיבור וקטורים הכפלה בסקלר (סקלר זה מספר) איך מחברים וקטורים? באמצעות כלל המקבילית: v w v + w ומי שמעדיף אלגברה, אז מחברים אותם קוארדינטה קוארדינטה איך מבצעים חיסור? w כאשר הוא אותו וקטור בכיוון ההפוך, כמו שאנו רואים משמאל: דרך אחרת לחסר: נשים אותם עקב לעקב, ואז הוקטור שעקבו הוא הראש של w וראשו הוא v w הראש של v הוא כפל של וקטור בסקלר: מה זה? kv <k אז מדובר בוקטור מקביל לוקטור v וגודלו k פעמים הגודל של v אז מדובר בוקטור שכיוונו הפוך לכיוון וגודלו פעמים k v v k< גודלו של kv k v תכונות: z, (, לעיתים נסמן z) וקטור שעקבו בראשית זהו סימון לוקטור שעקבו בראשית וראשו בנקודה u,, z v,, z,, z משפט: ו וקטורים שעקבם בראשית אז: v+ u +, +, z + z kv k, k, kz

17 , אז כותבים (,, ) B z (,, ) A z וקטור שעקבו איננו בראשית נניח שיש לנו וקטור שעקבו בנקודה וראשו בנקודה את זה ככה (עם חץ מחובר ביניהם) איך נרשום את AB הנ"ל בצורה של וקטור שעקבו בראשית? (כאשר הוא הוקטור שעקבו בראשית OB AB,, z z AB AB OB OA,, z,, z וראשו בעקב B), ובסיום, זה יוצא כמובן AB (ברישום כוקטור שעקבו בראשית)? AB, 5, 7 A לדוגמא, נניח ויש לנו את 5), B,, ( מהו הוקטור ABCD תרגילון: מצאו את הקודקוד הרביעי של המקבילית D(, ) נסמן A B AB, שקודקודיה, (, ), (, ), C(,5) AB ידוע כי DC, DC,5, ומכאן נורמה של וקטור שעקבו בראשית:,, z + + z, נמצא וקטור יחידה בכיוון של v v v v v בהנתן וקטור v וקטור יחידה וקטור יחידה הוא וקטור שהנורמה שלו הוא ע "י: הוכחה טריוואלית ˆ i,, ˆ j,, zˆ k,, v,, z i + j+ zk תרגיל: מצאו וקטור יחידה בכיוון הוקטור,,,,,, + + פתרון: נגדיר את וקטורי היחידה הבאים: נשים לב שלכל וקטור מתקיים: זוית בין וקטורים (שאינם )

18 w v, הזוית בין וקטורים שונים מ ל היא הזוית θ שנקבעת על ידם ומקיימת θ u v u v cosθ u, v v, הגדרה: יהיו w θ π הגדרה - מכפלה סקלרית: יהו אז נגדיר כאשר היא הזוית ביניהם למה קוראים למכפלה סקלרית כמכפלה סקלרית? כי היא מחזירה סקלר אפשר להסתכל עליה גם כמכונה (אבל עדיף שלא אש) אזי, נתבונן לדוגמא: v,, u, π π u v u v cos cos 4 4 v w + + zz v,, z, w,, z משפט: אם למשל בדוגמא הקודמת: אז,,

19 sgn 6 zivg@mathhujiacil מנהלה: אין חובת נוכחות אין חובת הגשה (כי אין בודקים) בחנים פונקציות: דוגמא: מבחן בקורס מת"פ פונקציה מתלמיד לציון a b נגדיר B b, b A דוגמא : a : A B { } AB, { } הגדרה: תהיינה איבר יחיד קבוצות פונקציה היא העתקה המתאימה לכל איבר a A, B נקרא תחום התמונה של ( ) >, <, a b a) A ( נקרא תחום ההגדרה של b קיים a A ( ) b B : R R b B נסמן פונקציה ממשית הינה : R R דוגמא: תהי דוגמא: המוגדרת ע"י { } { } sgn : R \, הגדרה: פונקציה : A B על הגדרה: פונקציה כך שלכל כך שלכל מתקיים כך ש נקראת פונקציה תקרא פונקציה דוגמאות: a a a a n : A B n p i חח"ע (חד חד ערכית) a i פונקציות אלמנטריות i פולינום - פונקציות ראציונלית פונקציה רציונלית R היא מנה של שני פולינומים כלומר עבור פולינומים p,q כמובן שנדרוש ש ( )q לכל אבל עבור מתקיים n עבור m R R( ) R m 4 ) R( הפונקציה מוגדרת + R + p q שורשים: n עבור n טבעי הוא המספר האי שלילי (היחיד!) המקיים איך מחלקים פולינומים? a b c

20 פונקציות טריגונומטריות ופונקציות טריגונומטריות הפוכות הפונקציה המעריכית(חזקה) יהי היא פונקציה מעריכית עבור, a a a> a הפונקציה a> ( ) a> תחום ההגדרה של כל הישר הפונקציה הלוגריתמית יהי נסמן נגדיר אם log a log ln( ) a a e log לכל log 8 דוגמא: 8 log a log, a a a + a b ab חוקי חזקות:

21 ( a ) a חוקי log log log + log a a a log a α ( ) α log a ( ) b ( ) log log log a a b קצת גרפים: g : B A פונקציות ו g הן הפוכות אם לכל הגדרה: תהיינה A וB קבוצות,, : A B g a A ו b B מתקיים g b a a b ונסמן, אזי, g, g [ ] [ ] דוגמא: :,, g, דוגמא : המוגדרות: הפוכות e ו ln הפוכות g : B C : הגדרה: תהיינה,, ABC קבוצות, ו, A B היא פונקציה מA לC המוגדרת ע"י פונקציות, אזי פונקציית ההרכבה ( ) + go a g a g[,] [,4] המוגדרת מוגדרת ע"י [ ] [ ] go :,, go דוגמא:[ [ ] [ g( ) :,, ln( ) e ln( e ) מסקנה: e ו ( ln( הפוכות, ועל כן וגם טענה: לפונקציה על A קיימת פונקציה הפוכה אמ"מ חח"ע

22 g + α α h α α 6 הזזות של פונקציות הזזה של פונקציה זו בעצם הרכבה של פונקציה עם פונקציה מאוד פשוטה h ( ) α, g ( ) + יהי α R נגדיר α α α תהי : A B פונקציה ממשית, ונתסתכל על הפונקציות: { ( α) a A} ( g ) { g ( a) + α a A α α } ( h ) α ( a) a A Im { } Im α התמונה [ α,4 ] ( a b, h α פשוט ( ) + α היא, ע"פ ההגדרה לעיל, g α (נהוג פשוט שבכתיבה[, ab [ [ ] [ ] תחום ההגדרה: לא השתנה, עדיין R התמונה: התמונה של : A B היא מוגדרת ע"י [,4 ] התמונה של,4 α, α 4 α,, α < דוגמא: :, ] [ תהי R, היא התמונה של, h ע"פ הגדרה, היא α של הגדרה:הגרף של פונקציה A B הוא קבוצת כל הנקודות אזי {(, ( ) ) A}, g α : איך מציירים את הגרף? בהזזה מהסוג מכווצים או מרחיבים את הגרף פשוט מסיטים ב α את ציר ה בהזזה מסוג α עבור, g α, לעומת לדוגמא: :α עבור 5, h α ועכשיו עבור

23 ( + α) g α סוג נוסף של הזזות: תהי : פונקציה ממשית, ונסתכל על הפונקציות ועל g ( + α α ) α{ α שזה שקול ל } הוא α, α] [ + אמ"מ α A a a A g α : שייך לתחום ההגדרה של + α A - כלומר, [, ], אזי תחום ההגדרה של A B ( α ) h g α α תחום ההגדרה של שייך לתחום ההגדרה של דוגמא: עבור בקטע : h α נחלק לשני מקרים: תחום ההגדרה של -α a אם A אזי לכל R מתקיים α A ולכן תחום ההגדרה הוא כל הישר h לא מוגדר באף נקודה b אם A אזי A a a A אמ"מ α A בתחום ההגדרה אמ"מ -α α α h נחזור לדוגמא של, תחום ההגדרה של הוא כל R היה רק,] [ [, ), α > α α כזכור- התחום של עבור α הוא,, α < α α נתבונן על הגרפים:

24 ( ) ( ) g + h ( ) כמובן ש עוד דוגמא: נגדיר (יש כאן אוסף של הזזות) הזזות: (, ) ln + ( ונבצע ) ln( ) תחום ההגדרה הוא ln( ) (, - תחום ההגדרה ( ( ) g ln +

25 (, ) h ln + כעת, ) ( - תחום ההגדרה לא משתנה - g ln ( + ) וכעת-

26 A B C D E F חתכים קוניים: פתרונות במישר של המשוואה: לדוגמא: אנחנו נתעניין ב: פרבולה 4 p ( 4 או p מעגל (שנראית כזכור לנו - + r

27 a b + אליפסה (,) a b היפרבולה מעגל היחידה עם מרכז או a b,) ( מוגדר כ +, + + +, ( ) אזי ועל כן יתן לנו מעגל ברדיוס עם מרכז יתן לנו מעגל עם מרכז (, ) + + יתן לנו מעגל עם מרכז ), ( על כן, מעגל עם מרכז ), hk ( נקבל על ידי k h + כמו שהזזנו מעגל, אפשר להזיז היפרבולה, אליפסה, וכל משוואה אחרת לדוגמא, היפרבולה, עם מרכז ( h) ( k) ), hk ( נקבל ע"י a b ( k) ( h) או (בהתאם לסוג ההיפרבולה שנרצה לקבל) b a מה הצורה של הפתרונות של המשוואה F? A + B + C+ D+ E+ לא תמיד מתקבלים פרבולה / מעגל / אליפסה / היפרבולה

28 + + לדוגמא, יש משוואות שאין להן פתרון - ±, 4 כלומר קיבלנו שני קווים מקבילים לדוגמא (), איך נדע מה קיבלנו באופן אלגברי? (,, נשים לב, שבמעגל / אליפסה / היפרבולה מופיעים רק ו (ולא A B F ולכן משוואה מהצורה + + יכולה לייצג מעגל / אליפסה / היפרבולה דוגמא: מה שאמרנו עובד באמת כשמדובר בראשית הצירים מה קורה אם לא מדובר על זה? לדוגמא, h h+ h ( h ) ( h) h+ h ועל כן ביטוי מהצורה דוגמא: ניתן לשנות ל ולהפטר מהגורם של ( ) נשים לב כי ואז, עם התובנה הזו: ,( ועל כן: כעת, נשים לב כי (שכן ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) עוד חתך:

29 פונקציה ממשית בשני משתנים היא, : A B כאשר A R, B R לדוגמא: (, ) (לתלמידי לינארית לשעבר לא מדובר בהכרח בטרל"נ, למרות הסימונים הדומים) נראית כך:,, או היא מוגדרת כאשר, כלומר -

30 ו B R כך ש A R 66 פונקציות בשני משתנים : A הגדרה: פונקציה ממשית בשני משתנים היא פונקציה B (, ) (, ) + + (, ) לדוגמא: "תיאור פונקציה" (, ) h h g (, ) ln ) ( מוגדר אמ"מ ציור גרף לדוגמא - אבל קשה לצייר בלי מחשב הבנת תחום ההגדרה לדוגמא :, ואז,,, (פונקציה במשתנה ) נגדיר [,] ( ) g אמ"מ בתחום ההגדרה של g[,] R (, מוגדרת על ( g g g h תהיינה g, h : R R ונגדיר, ( בתחום ההגדרה של אמ"מ ) לב כי לא מוגדר,(ln (נשים sgn( g( ) ) sgn( h( ) ) i ל ) ( כלומר נמצא בין h g הבנת התמונה A : פונקציה ממשית, ויהי α, R אז קו הגובה המתאים B קווי גובה תהי a ל α הוא כל הנקודות בתחום ההגדרה של עבורם α מתקבל, כלומר α α קו הגובה המתאים הוא קו הגובה המתאים הוא לכל α, לכל α,, i ii { a A ( a) α} ( ) עבור i עבור ), ( ii, a b c

31 אמ"מ עבור עבור < α קו הגובה ריק עבור α קו הגובה הוא ± α (, ) ( + ) עבור עבור < α קו הגובה ריק עבור α קו הגובה הוא + ± α ± α (, ) עבור עבור < α קו הגובה ריק (, ) α נחשב עבור a או α α α עבור > α נשרטט את קוי הגובה עבור α,, b iii iv v α ( α ) ( ) (, ), + ל ננסה לשרטט את קו הגובה α זה שקול + α + + α + α vi עבור α ו αזה יראה:

32 כמו שלמדנו שבוע שעבר, פרבולה שמרכזה עבור α, ועל כל α למעלה זה מעלה אותה ב (, עבור ) 9 6 עבור α 6 4 ±, כלומר: vii

33 , α ( α) ( α) עבור > α כלומר היפרבולה α < α α α α עבור וזה נראה כמו אוכף אם רוצים לראות את הפונקציה כולה, אז היא נראית:

34 cosh sinh e cos( θ) ( ) ( ) iθ e + e e e + e iθ, ואז כמובן e iθ ( θ) isin( θ) cos + ) cosh( ו ) sinh( ע"י cosh coth sinh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ו פונקציות היפרבוליות למי שמכיר מרוכבים: ידוע כי e sin( θ) iθ e i iθ הגדרה: נגדיר פונקציות ממשיות, tanh ( ) sinh cosh ( ) ( ) : R R נגדיר הגדרה: נקראת זוגית אם נקראת אי זוגית אם (הפונקציה סימטרית סביב ציר ) (שיקוף), לעומת דוגמאות: זוגית שהיא אי זוגית ( sin( שהיא אי זוגית זוגית, לעומת cos( ) cosh זוגית, ואם e + e e + e, cosh ועל כן sinh נקבל כי היא פונקציה אי זוגית ( ) cosh( ) באותו אופן, נחשב באותו אופן עבור cosh( ) > :cosh( ) cosh הערות: לגבי לכל זוגית מתקיים

35 e + e e (, cosh ( ובאותו אופן כמובן עבור ~ עבור ים גדולים, cosh ( ) e ~ כדי לחסוך מתח, היא נראית ככה: e e e sinh ( ) ~ :sinh( ) sinh כמה הערות על אי זוגית עבור נראית ככה: ים גדולים, כמה מילים על הפונקציות הטריגונומטריות, cos sin ולכן אם חלקיק במישור נמצא בזמן t בנקודה ידוע כי +, אזי החלקיק נע על מעגל עם רדיוס t π ( ) + ( ) כאשר t) cos ( t),sin( ( ) ( ) cosh sinh טענה:

36 הוכחה: e + e e e cosh ( ) sinh ( ) e + e e + e e e + e e + + e e + e t מסקנה (ישירות מהטענה לעיל): אם נתבונן בחלקיק הנמצא בזמן t בנקודה אזי הוא נע על ההיפרבולה (כאשר תמיד אפשר להציב t אחרים ( cosh( ),sinh( ) ) ( ), cosh t,sinh t, t R מהגדרת (cosh בזמן t אזי החלקיק נמצא ב?t,t< חיובי, לדוגמא, כמובן איך מגיעים לזמן לדוגמא זהויות הפונקציות ההיפרבוליות: הכוונה היא איפה הוא היה שניה לפני שהוא היה ב ( ) ( ) + ( ) ( ) ( + ) cosh cosh sinh sinh cosh cosh( ) cosh( ) + sinh( ) sinh( ) ( e + e )( e + e ) ( e e )( e e ) ( + ) למה? + ( + ) ( + ) ( e e e + e ) e + e + e + e e + e cosh פונקציות היפרבולויות הפוכות sinh חח"ע לכל תחום הגדרתה, וגם כאן, אפשר להגדיר שווה? arcsin h בלי לצמצם תחום למה היא e e sinh( ) e e e e ( e e ) e e e ± ± + e e > e + + ln + + זוהי משוואה ריבועית

37 , ותיראה: arcsin h ln + + ולכן [ ] [ ] arccos h :,, קיימת פונקציה הפוכה, arccos h ln + ( cosh( חח"ע עבור יתגלה בחישוב כי

38 ) ( s אם ( ) m + lim m m m ( a+ b) ab k k m m! : k k! ( m k)! 6 תרגיל 4 יהיה באתר גבולות יהי חלקיק לנמצא בזמן t בנקודה )s (t t בזמן בזמן t החלקיק נמצא בזמן tקרוב ל, אז החלקיק יהיה קרוב לנקודה k m k m k + m+ m k k m k [חזרה על הגדרת הגבול, אריתמטיקה של גבולות יש בשיעור של חגית] דוגמאות: m m m k m m m k m k k k k m m+ m k k lim ( α ) lim ( ) α lim ( α ) lim ( ) α sin lim ( ) sin( ) lim > > ( ) sin lim sinα lim, α α sin sin lim מתקיים lim החלפות משתנים: ( ) דוגמא: נבצע הצבה עוד דוגמא:

39 sinα sin lim lim α sinα lim, α, β sinβ sinα sinα α α lim lim α α α sinβ β β β sin β β β נציב α מסקנה: ונקבל: lim ( ) l, lim אז טענה: אם l הערה: lim a b a b a+ b a b a b a+ b lim ( )( ) + a b a b a + ab+ b a b a b a + ab+ b דוגמא: עוד עובדה: דוגמא:

40 lim : 8 b : lim + 8 a a b a b a + ab+ b ( ) ( ) + 8 []

41 v או cu,,, 4, 6 v? לא! cu כך ש c u k 6 v u הגדרה: (מקבילים) אם דוגמא: 6 4,,,, כי u קיים שאלת הבנה: האם kv לדוגמא:, c אבל אין סקלר c כך ש, u ל v (תמיד v k u ו k u תיקון: אם kv תזכורת מכפלה סקלרית : אז כאשר θ היא הזוית בין u v u v cosθ i בוחרים את הזוית הקטנה) u,, u i,,,, + + : V F u i j+ k,, v i + j+ k,, תזכורת: עוד נוסחה נחמדה: תזכורת: מכפלה סקלרית היא פונקציה תרגיל: חשבו את הזוית בין הוקטורים i,, תזכורת:,, j k,, u v + פתרון: u π cosθ - ונקבל θ 6 v u v נשתמש בנוסחה u v cosθ π u v u v (ניצבים הזוית ביניהם היא ( uv u, לחלק כי v (מותר cosθ u v u i + j+ k,, a+ b+ c uv v u כלומר - a, b, c,, abc המקיימים אותה לדוגמא - משפט: אם v,u אזי הוכחה: v u נובע כי מ u v cosθ תרגיל: מצאו וקטור יחידה ל נסמן ו) מתקיים v abc,, משימה: מצאו v,,

42 w ולכן v w ) w v v ננרמל אותו - הוא וקטור יחידה בכיוון של הוא וקטור יחידה הניצב ל u) w v,, v A + + a a a b b b c c c b b b b b b deta a a + a c c c c c c תכונות המכפלה הסקלרית: u v v u קומטטיביות - u ( v + w ) u v + u w דיסטרבוטיביות - k( u v ) k( u ) v u ( kv ) v v v דטרמיננטות הגדרה: מטריצה היא מערך מלבני (m שורות, n עמודות) מטריצה ריבועית היא מטריצה בה מספר השורות מספר העמודות דטרמיננטה מוגדרת עבור מטריצה ריבועית בלבד הגדרה רקורסיבית: a b a b det ad bc c d c d det 4 4 לדוגמא: איך מחשבים דטרמיננטה (מסמנים את ה ± למעלה בשביל נוחות): (זה בעצם פיתוח דטרמיננטה ע"פ שורה / עמודה, למי שעשה אלגברה ליניארית ) ( ) + מכפלה וקטורית מכפלה וקטורית מוגדרת עבור וקטורים במרחב בלבד (לא מוגדרת עבור וקטורים דו מימדיים):

43 u,, z u היא וקטור, המוגדר כ: v המכפלה הוקטורית, v,, z i j k z z + z z z u v z i j k הערה: הדטרמיננטה באמצע היא סימן זכרון, ולא מהווה מטריצה חוקית u i + j k,, u כאשר תרגיל: חשבו את v v i + k,, i j k u v i 7j 6k, 7, 6 u v u, v,u ואשר גודלו v, θ π כלומר יהו תכונות המכפלה הוקטורית: u ( u v) ( u v v וגם u v u (ז"א v ( u v) (v ל u היא הזוית בין θ (כאשר u v u v sinθ u v אמ"מ sinθ θ - או מסקנה: o u v v u אם או אז u מה המשמעות של v (נורמה של מכפלה וקטורית)? שטח המקבילית שנוצרת ע"י סיכום מכפלה וקטורית: u v u v u v u v u v הוא הוקטור שניצב למישור שמכיל את אם u, v אינם וקטורים מקבילים, אז הוא שטח המקבילית שנוצרת ע"י u, v כיוונו נקבע לפי כלל היד הימנית הקרטזית: מערכות קואורדינטות קרטזיות, גליליות, כדוריות

44 לכל נקודה במרחב יש קורדינטות - מערכת גלילית גם כאן יש לנו קוארדינטות: z כמו קודם r מרחק מהראשית לנקודה המבוקשת - הזוית שיוצרת (,, z) r θ לדוגמא מה משמעות המשטח r- 8 אוסף כל הנקודות, המקיימות אינסופי כל מה שמתחת ומעל המעגל ברדיוס 8 סביב הראשית במישור, {( r, θ, z) r 8} - זהו גליל

45 מהו המשטח θ θ?זהו חצי מישור לדוגמא, כל מה שנמצא מתחת / מעל ל, לדוגמא: θ לקו שנוצר ע"י? z z מהו המישור כמו בקרטזית, מישור מקביל למישור r cosθ r sinθ z z r + θ tan z z המרה ממערכת צירים קרטזית לגלילית,, z נחפש את, p r, θ, תהי z ( r, θ, z) נחפש,(,, z) בכיוון השני נתון

46 מערכת קואורדינטות כדורית (,, ) p ρ θ ϕ ρ תהי אזי היא המרחק בין הנקודה לראשית ϕ π - זוית על ציר z - - כמו בגלילית - θ π ϕ θ משטחים במערכת כדורית: - חצי מישור כמו קודם - החלק החיובי של ציר z - החלק השלילי של ציר z < ϕ < π θ θ ϕ ϕ π ϕ ϕ אם - חרוט פתוח כלפי מעלה - חרוט פתוח כלפי מעלה, π < ϕ < π ρ π ϕ- מישור ϕ ϕ - כדור ברדיוס ρ ρ

47 r cosθ ρ sinϕ cosθ ρ sinϕ sinθ z ρ cosϕ נוסחאות המרה ממערכת כדורית למערכת קרטזית ρ + + z tgθ θ arctg z z z cosϕ ϕ arccos ρ + + z + + z

48 4 + lim lim + 4 אין שום ישר שמתנהג כמו? לבדוק פעמיים מתוך אינסוף, זה לא מספיק? lim lim lim lim : מ g ( ) lim כלומר, g, g 6 ציטוטי השיעור: סדרי גודל הגדרה: תהיינה פונקציות נאמר ש אם הרבה יותר קטנה ב (O קטן) ( 4 ) o + למשל: cos, שכן o cos sin sin lim lim lim sin lim < < g אם (קיים במובן הצר) כלומר, קטנה, g o g O g (אסימפטוטית) מ g (גם שיוויון אפשרי) ( 4 ) O + למשל O ( 5 5) O + + lim g אם Θ( g) Θ ( g) נאמר הערה: אם אזי סופי ושונה מ, כלומר מאותו סדר גודל gθ ( ) ( ) lim g ~ g נאמר (אקווילנטית) אם

49 sin ~ sin ועל כן ב lim + ( + ) lim lim lim + ~ דוגמא: ב - lim, ועל כן O ב (ב, - הגורם הדומיננטי בפולינום הוא זה עם החזקה הקטנה ביותר) ( ) ב - ) lim ( ) O( (ב - הגורם הדומיננטי בפולינום הוא זה עם החזקה הגדולה ביותר), O( ) o( ) ma {,, } O( ) o( ) - O( ) o( ) O( ) ma O( ), O( ), O( ) O O O O O O log ( ) o log( ) ( ) log( ) o( ) { } ( + ) ma {, } O g O g log + ( log) O ( ) log lim lim log log( ) O ב - ב ועל כן, באופן כללי: דוגמא: ולכן בסה"כ מיון סדרי גודל ב :

50 O O ( ) ( log ) c ( ) ( log ) O log, c> O O c O O O c c> c> c log log o( c ) c ( ) Θ( log( )) ( ) Θ( log a b( ) ) a כמה הערות (גם כאן באינסוף) o b a< אם b אז e + הערה: o (, ) S t m s( t m) ( t, m) (,) lim, t m s t t גבולות של פונקציות בשני משתנים נניח שיש לנו חלקיק, שבזמן t נמצא ב כיום, נגיד שיש לנו חלקיק t עם מסה m, ונמצא בזמן t בנקודה s (,) חלקיק עם מסה m, נמצא בזמן t, בנק בזמן קרוב ל חלקיק עם מסה קרובה ל ימצא בנק קרובה ל נסמן (או, t m lim s t, m lim, 4 (, ) דוגמאות: lim 4 ( ),(, ) ( 4,), (, ) ( 4,) נשים לב מתקיים גם אזי עדיין ( )( + ) 4 4 lim lim lim + + נתבונן ב

51 lim + lim lim + + > (,) לא קיים הגבול ב אין גבול ב, כי מימין מקבלים, ( ) ניזכר ב משמאל הערה: ל קיים גבול בנקודה אםם קיימים הגבולות מכל הכיוונים ושווים זה לזה בפונקציה במשתנה יחיד יש כיוונים בפונקציה בשני משתנים יש כיוונים הפו אינה מוגדרת על כל הישר, > lim lim + נבדוק את הגבול ב,),( כלומר - (, ) (, ) + דוגמא: נחשב את הגבול מהכיוון כעת, נחשב את הגבול מהכיוון + ( (, ) עוד דוגמא: (כלומר (, ) נחשב את הגבול לאורך ציר lim lim + מסימטריה, זה יצא אותו דבר כעת נחשב את הגבול את הגבול לאורך ציר lim lim + + נחשב את הגבול לאורך הישר יצאו גבולות שונים לא קיים הגבול נחשב את הגבול לאורך הישר m m m lim lim lim + + m + m m (, ) עוד דוגמא: (כמובן שזה יתן תשובה שונה לכל m)

52 76 תהי ) ( ( + ) הגדרה: פונקציה המוגדרת בסביבה של לכל נסמן t d ( ) d t, אזי בזמן lim אם קיים הגבול ב גזירה ב הנגזרת של פירוש פיסיקלי: אם שווה לגבול הזה ומסומן או המיקום של חלקיק בזמן החלקיק עושה דרך של t ( + ) s t t s ( t) ( + ) s s t t s t s( t ) המהירות הממוצעת בין לבין היא s המהירות של החלקיק בזמן t היא :, אפשר להתבונן בישר המשיק לגרף בנקודה ( ) s lim ( t) t t פירוש גאומטרי: אם נתבונן בגרף (, ( ) ),, ( ) מדובר בישר העובר דרך הנקודות ) ( השיפוע של הישר הוא (, ( ) ) m הישר המשיק לגרף בנקודה הוא הישר העובר דרך הנקודה עם שיפוע m m והישר נתון ע"י limm השיפוע של הישר הוא ( ) ( ) ( + h ) ( ) m lim lim h ( ) h h דוגמאות

53 אנו רוצים לחשב את n ( ) n n ( + ) ( + h) h lim lim h h h h n n n k n k ( + h) נזכור כי h k k ועל כן נמשיך לחשב את הגבול מלמעלה עם התובנה הזו: n n k n k n n n h ( + h ) k k lim lim h h h h n n n n n n k n k n k n k + nh + h h h k k n k k lim limn h h h h n n n k n k n limn + h h n h k k n n ועל כן - את נחשב ( ) + h + h h h h h h h h ( ) ( ) + h ( + ) ( + ) ( + ) h ועל כן, ( ) ( + ) + h ( + h) ( ) h h h( + h+ ) h + h ( + + ) h h h + h+ ( c ( ) ) c ( ) ( ± g ) ( ) ± g ( ) כללי גזירה

54 p a + a+ + a n n מסקנה: פולינום גזיר בכל נקודה, ועבור מתקיים ( ( ) g( ) ) ( ) g( ) + ( ) g ( ) ( ) ( ) g( ) g ( ) ( ) g( ) g ( ) n na p a a a המשך כללי גזירה: n n ( ) n n ( ) n n n n n n דוגמא: דוגמא: ( ) דוגמא: + + ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) (, ( ) ) כעת, נתבונן בפונקציה המשיק לגרף של הפונקציה בנק הוא הישר הנתון ע"י + נחפש את כל המשיקים של הגרף המקבילים לישר + הוא ועל כן נחפש את כל המשיקים עם שיפוע, כלומר - השיפוע של הישר ( ) +

55 גזירה ב g( ( ) ) t + t ± 6 ± 4 t z גזירה ב ) ( ו ) g( t קיבלנו כי עבור גזירה ב כלל השרשרת אם ומתקיים או - אזי dz dz d d d d dz dzd 5 + d dd ( ) g g ( ) 5 z + d - d dz 5 d דוגמאות: 5 z נסמן: נסמן ועל כן, d d 5 z cos, 5 ( ) z דוגמא נוספת: cos 5 dz dz dzd sin sin 5 5sin 5 d d dd נסמן ( ) ( ) נסמן, z z ln d d dz dzd 6 dz, ועל כן + 4 d dd d ln עבור z, אזי ln( ) a a ln( ) e e aln, נשים לב כי a, עבור a R

56 , z e d a d, aln z e aln נסמן עבור עבור אזי dz e e e d dz dzd a a a a d dd aln ln a a פונקציה לינארית הדיפרנציאל דיפרנציאבילית בנק אם אפשר לקרב את a,, פונקציה a בסביבת ע"י פונקציה לינארית כלומר קיים כך ש ) ( + a + o דיפרנציאבילית ב o + דוגמא:הפונקציה ( ) lim o? ( ) תזכורת: מה זה o נתבונן בפונקציות: l כמו שאנו רואים, בסביבת טענה:, אפשר לקרב את אמם ב ע"י הפונקציה הלינארית a (השיפוע), ובמקרה זה - גזירה ב, ומתקיים דיפרנציאבילית ב + דוגמא: דיפרנציאבילית בכל נקודה

57 ( ) ( ) ( ) o( ) ( + ) + o ( ) ( ) ( ) ( )( ) o( ) ( ) ( ) + ( + )( ) (ב ) ב הגדרה: תהי שתסומן הדיפרנציאל של דיפרנציאבילית ב ומוגדרת ע"י נסמן היא הפונקציה הלינארית, d d ונקבל d, d d d d + + ( ) ( ) ( ) + ( )( ) d o או מתקיים ועבור ל קרוב 9 ו 9 ( ) ( ) תהי 9 דוגמאות: נעריך את נחשב במחשבון, ונקבל 5 לא רע ( ) דוגמא נוספת: נרצה לחשב את ע"כ,

58 , g 46 כלל לופיטל משפט: תהיינה א גזירות בסביבה של כך שמתקיים: g( ) lim lim בסביבה של ב g לכל ( ) ג קיים lim l g lim g אזי קיים l ( ) a ( ) b g ( ) ( ) a a a g b b g b a b נשים לב כי אם, g לינאריות, אז ( ) ( ) g g גזירות ב אם, g אז הן דיפרנציאביליות שם, ולכן ולכן ( ) g g דוגמאות: sin cos lim Lupital lim lim lim 5 Lupital cos sin sin lim lim lim Lupital ( ln( ) ) ln ln ln lim lim lim lim lim Lupital Lupital ( ) ( ) 4 lim lim

59 לא תמיד לופיטל עוזר לנו לדוגמא: sin sin + cos sin cos lim lim lim Lupital sin cos cos Non eis tant נשים לב, שזה לא אומר שאין גבול לפונקציה המקורית sin lim lim sin sin sin הערה: לופיטל נכון גם עבור ± sin cos cos לדוגמא: lim lim Lupital sin cos cos g( ) lim lim ועל כן lim הערה: לופיטל נכון גם עבור גבולות מהצורה lim אזי limg( ) לא חייבים אבל את המעבר המגעיל הזה limg( ) lim lim g ( ) g g( ) g אם כלומר, לדוגמא: עבור + 6 lim lim lim Lupital Lupital 9 8 e e lim lim lim לא מצאנו פתרון ננסה לשנות את Lupital e דוגמא נוספת: זה קצת:

60 e e e lim lim lim + Lupital + + e e e, באותה דרך lim e צריך לבדוק ולמצוא גם כי שימושים בלופיטל ± או ± ) או ( sin cos lim sin lim lim lim cos Lupital ( : ( ) + + חישוב גבול מהצורה חישוב גבול מהצורה דוגמאות: (נשים לב שאפשר לחשב זאת באמצעות הצבה ln( ) limln( ) lim lim lim( ) Lupital ln - על ידי שימוש ב ln - ln ln ln - lim ln lim ln ln lim lime lime נחשב את lim + דוגמא נוספת גבולות מהצורה גבולות מהצורה 4 דוגמא: נחשב את הגבול (עשינו לפני כמה שורות) lim sin ( ) דוגמא נוספת:

61 נחשב את sin( ) ln limln lim ln lim sin sin lim cos ( ) sin( ) ln sin( ) lim ( ) ( ) Lupital lim e e אם נשאיר את (, ) ( ) נגזרות חלקיות, z פונקציה בשני משתנים המוגדרת בסביבת תהי ( ) (, ) ϕ (ב ( קבוע נקבל פונקציה במשתנה קיימת נגזרת חלקית ב ב ) (, אם ϕ גזירה ב נאמר של (, ) (, ) את הנגזרת החלקית נסמן ( + h) ϕ( ) ϕ ϕ (, ) ( ) lim ( + h, ) (, ) lim h h באופן זהה לחלוטין, וכמו שהגדרנו בשיעור, ניתן להגדיר נגזרת חלקית ב, אזי (, ) (,) עבור (, ) + + ( ) ( 5 ) ( ) : (, ) ( ) 4 ψ דוגמאות: אם נקבע את ϕ + ψ ϕ, כעת נקבע את, 4, אז קיבלנו (, כלשהוא, אם נקבע את ) ( ) ( ) ( ) עבור ϕ, + +, (, ) ( ) (, ) ψ + +, אזי אם נקבע את g,, h,, קיבלנו שתי פונקציות -

62 d (, ) d d( ) (, ) d, cos +, cos + דוגמא נוספת: ), ( דוגמא: אם מקבעים את, אזי (, ) sin( + ) (, ) (, ) (, ) (, ) g h קיבלנו שתי פונקציות עבור אם יימות ל g ול h הנ"ל נגזרות חלקיות, אזי נאמר שקיימות ל נגזרות חלקיות מסדר שני, ונסמנם באחת מ! 85 האופציות בערך שחגית הראתה היום בבוקר sin( + ) ( ) ( + ) ( + ) (, ) 4sin( + ) (, ) 4sin( + ), cos + + sin + cos 4 sin

63 ,,,, 6, 6, 6 α (, ) ( + ) α (, ) α( + ) α (, ) α( + ) α ( α ) α ( α ) והן רציפות ב ) (, (, ) (, ) (, ) (, ) α α - נגזרת החלקית לפי של בנקודה - הנגזרת החלקית לפי של בנקודה - הנגזרת החלקית לפי של בנקודה בנקודה, +, + - הנגזרת החלקית לפי של 6 תרגול z, 8 (, ) (, ) (, ) (, ) וכך הלאה לדוגמא:, נחשב את עוד דוגמא: משפט: אם קיימות ל ), ( הנגזרות החלקיות ו אזי הן שוות שם (, ) (, ),,, + +, (, ) (,) ( ) הערה: רואים זאת בדוגמא לעיל דוגמא: לכל,) ( ) (, הפו רציפה והנגזרות החלקיות מסדר שני קיימות ורציפות ( ) ( ) ( + )

64 ( )( + ) ( ) 4 ( + ) ( + ) (,) 5 4 עבור כל נקודה :(, ) (,) נראה כי הפו המקורית רציפה ב (, ( lim, ועל כן רציפה בכל נקודה חייבים לגזור ע"פ הגדרה מאחר ומדובר בפו מוטלאת שאין (,) ( + h) (,) d, lim h d h (, h), lim h h (, ) ( + ), (, ) (,) (, ) ( + ), (, ) (,) נשים לב כי כעת, מסנדביץ, נזכר כי יש לנו הכפלה ב, ולכן, (,) ( ),,, ( ),,,,, 5 h (, h) (,) (, h) 4, lim lim h h h h h h (,) (, ) ( h,) h, lim lim h h h h כעת, נחשב את הנגזרות בנקודה לנו כללים לגביה: נסכם, ונראה כי דיפרנציאביליות תזכורת: פו היא דיפרנציאבילית בנק, כלומר: אם קיים לה קירוב לינארי ב, + ( ) o הגדרה: פו z היא דיפרנציאבילית ב ) (, אם קיים לה קירוב לינארי ב (, )

65 (, ) תרגול 86,9 דיפרנציאביליות z דיפרנציאבילית בנק, הגדרה: אמם מתקיים (, ) (, ) z + + a + b + o + b ו ), ( (, ) a דיפרנציאבילית ב ) (, אזי: (, ) נגזרות חלקיות ב רציפה ב ) (, טענה: אם קיימות ל ומתקיים (, ) טענה: אם קיימות ל נגזרות חלקיות בסביבה של והן רציפות ב ) (, אזי דיפרנציאבילית ב ) (, ln מרציפות הנגזרות החלקיות בכל נקודה (,) מתקיים (, ) ln( + ) (, ), (, ) דוגמא: + + ) ( נובע כי הפו דיפרנציאבילית בכל נקודה, מתקיים (( + ) + ( + ) ) ln( + ) + + o( + ) + + מכך נגיע לקירוב לינארי של פו משני משתנים: z, הגדרה: אם אזי הביטוי: (, ) (, ) d + dz zd+ zd דיפרנציאבלית ב ) (,, ו dz ב ) (, או נקרא הדיפרנציאל השלם של אם נחזור לדוגמא של משמש קירוב לינארי ל z + + אזי + מהווה קירוב (, ) ln( + ) ln( ) ln לינארי ל z דוגמא: נקרב ע"י קירוב לינארי את דרך : נבצע קירוב לינארי לפונקציה בנקודה ( ) ( )( ) ln ln ln נמצא קירוב לינארי לפונקציה (, ) (,) בנקודה (, ) ln( + ) דרך : מתקיים

66 (,) ln( + ) ln( ) (,) ln( ) (, ) + (,) +,, +, +, + + ( + ) קיבלנו את אותה טעות וגם כאן היא o + (, ) (,) בנק (, ) ln( + ) ln ln ln,, +, +, e, e, + דרך : נבצע קירוב לינארי לפו קיבלנו קירוב טוב יותר, בגלל ש עוד דוגמא: נחשב את נגדיר קטן יותר כעת (, ) (,) נחשב קירוב לינארי בנק e, e,, +, +, + + ועל כן z גזירה ב ) ( g( ) ו גזירה ב ( ) ( g ) ( ) g ( ) ( ) גזירת פונקציות מורכבות תזכורת (במשתנה בודד): אם ומתקיים אזי גזירה ב ( ) g או: dz dz d d d d (, ) (, ) בשני משתנים:הפונקציה w h g היא פונקציה של שני משתנים מתקיים dw dwdz d dz d ו dw dwdz d dz d

67 z גזירה ב ), ( g ו (, ) משפט: אם קיימות ל נגזרות חלקיות ב ) (, נגזרות חלקיות בנק ומתקיים אזי קיימות dw dwdz d dz d, dw dwdz d dz d ל h אפשר להרחיב :, כש t משתנה קצת,, נתבונן על הפונקציה z h t l t k t בגלל שניהם משתנים, ו z משתנה ול גזירה ב t קיימות הנגזרות החלקיות בסביבה של גזירה ב אזי h t ומתקיים ומתקיים: dz dz d dz d + dt d dt d dt k ו t משפט: אם l גזירה ב, l t, k t ) ( והן רציפות ב ) (, אפשר לסבך את החיים עוד יותר: (, ) (, ), (, ) נתבונן על z h uv l tv k tv זוהי פו של שני משתנים, ועל כן יש לנו נגזרות חלקיות (ע"פ t או ע"פ v) נגזרות חלקיות אזי קיימות ל h נגזרות חלקיות וקיימות ל t, v נגזרות חלקיות ב,l משפט: אם קיימות ל k ) ( ב,, k t, v, l t, v ) ( והן רציפות ב ) ( z t z v dzd dzd + ddt ddt dzd dzd + ddv ddv ב ) v ( t, ומתקיים

68 dz z e נחשב את, t, dt t dz dzd dzd + ( e + e ) t+ e dt ddt ddt t t e + te t e te + te t 4 t t t t t (,) דוגמא: ניקח לדוגמא את משוואות סתומות - היא על המשוואה נרצה לחשב את 9 5 d 5 d ( ) ( ) ( ) ( 5 + ) d d נבחר את הנקודה 5 + 9,(,) המשיק לה דרך : בסביבה של על כן משוואת המשיק היא דרך : גזירה סתומה נחשוב על היא פו של הנתונה כפונקציה של ( ) ונגזור את שני האגפים לפי באגף שמאל: נקבל באגף ימין כמובן (, ) (,) נקבל: בנקודה מתקיים ( ) sin + עוד דוגמא: נתון כי המשוואה סתומה נמצא את ע"י גזירה של המשוואה: מגדירה את בתור פונקציה

69 ( + ) ( ( ) ) + 4 sin sin cos sin cos cos + 6sin + 6sin cos z z + + z דוגמא: תהי כפונקציה סתומה של פונקציה במשתנה אחד כך שהמשוואה מגדירה את (, ) נחשב את הנגזרות החלקיות של : z נגזור את שני האגפים לפי : z z d d z z z z d d d( + + z ) + + z z d ועל כן: z z zz + z z z

70 56 נגזרת כיוונית (לא הכל מועתק, יש בהרצאות בדיוק את אותן הגדרות מועתקות דוגמאות מסוף השיעור הראשון), בנק,, בכיוון דוגמא: e + דיפרנציאבילית בכל נקודה π π v cos,sin, הערה: לכל זוית Θ הוקטור θ,sinθ) ( cos הוא וקטור יחידה בכיוון θ v cosθ + sinθ (, ) e + e הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות, ולכן, e + ( ),,,,,5 D (,) (,) v (,5 ), 5 v + v abc (,, ), v u ac+ bd u, v ab אזי cd דיפרנציאבילית ב ) z (,, (,, ) (, ), (, ) (,, z) תזכורת: טענה: אם (וקטור יחידה) שווה ל אזי הנגזרת הכיוונית בכיוון (,, z ) (,, π) z v (,, ) sin + ln z z v,, ננרמל את : v דוגמא: בנק בכיוון הוקטור v + + z (,, ) z (,, ) cos (,, ) cos z z z z z v u,, v ראשית, ועל כן נתבונן ב הנגזרות החלקיות רציפות, ועל כן דיפרנציאבילית, ולכן π D (,, π) (,,) u (, π, ),, u

71 (, הוא ) בנקודה ) (, משפט: הכיוון תכונות הגרדיאנט הממקסם את הנכזרת הכיוונית בנקודה הוא הכיוון של הגרדיאנט של הנגזרת הכיוונית בנק (צריך לנרמל אותו z v u * (, ) D, (, ) כמובן) הערה: הכל נכון גם ביותר מ משתנים הערה: מעכשיו תמיד דיפרנציאבילית דוגמא: גובה של הר נתון ע"י המשוואה (5, ) באיזה כיוון העליה היא הכי תלולה? אדם נמצא בנק 4 ( 5,) (, 4) ועל כן, הכיוון (4, ( למה שווה הנגזרת הכיוונית באותו כיוון? הוא בעל העליה הגבוהה ביותר v (, ) (, ) D (, ) (, ) v (, ), v ( 5,) ועל כן ועל כן, באופן כללי, השיפוע של העליה המקסימלית בנק הוא (, ) (, ) k 5,, (, ) טענה: ווקטור הגרדיאנט בנק ניצב לקו הגובה בנק ו,) ( ) (, (, ) (, ) דוגמא: תהי נסתכל על קו הגובה (, ) (,) (,) (, ) (, ) (, ) (, ) (,) (,) ולכן הוקטור ניצב לקו הגובה בנקודה,, הנתון על תהי מישורים משיקים, אזי לגרף של קיים ישר משיק בנק דיפרנציאבילית ב ( ) ידי נחפש מישור משיק לגרף הפו z דיפרנציאבילית ב ) (, בנקודה תהי ) (, (, )( ) (,, z (, ) ) z z טענה: המישור המשיק לגרף הפונקציה בנק,, נתון ע"י : ( ) (, ) (, ) z z +

72 או ) )(, ( + ) )(, ( + ), ( ), ( z (,) z, ln, + + כלומר: המישור המשיק הוא אותו גרף של קירוב לינארי!!! + z ln בנק דוגמא: נמצא את המישור המשיק לגרף הפונקציה,,, z ועל כן המישור המשיק נתון ע"י + z + ( ) v ab (, ) (, ) (, ) F k עקום במישור נתון לנו ע"י פתרון משוואה ישר במישור העובר דרך נק וניצב לוקטור נתון ע"י a + b (, ) (, ) F k F (, ) F ניצב לעקום ווקטור הגרדיאנט (, ) F(, ) הישר המשיק לעקום k F ( )( ) ( )( ) מסקנה: בנק נתון ע"י, +, (,, z ) בנק FF(,, z) המישור המשיק למשטח k טענה: נתון ע"י F,, z + F,, z + F,, z z z z (,,5) דוגמא: נחשב את המישור המשיק למשטח z + + בנק נמצא את הגרדיאנט: Fועל, F, F כן המישור המשיק הוא:,,5, 4, z ( ) ( + ) + ( z ) 4 5

73 7 טענה: ישר משיק לעקום במרחב, F( בנק ) (, נתון ע"י ) k (, ) ניצב לישר המשיק ב F F(, ) (, ), F(, בנק ) z (,, נתון ע"י z) מישור משיק למשטח במרחב k F F(,, z ניצב למישור המשיק ) (,, z z ) ב ) z (,, (,, z (, )) בנקודה z (, ), F(,, z) ( המישר ) z עבור F(,, z ) הוא המשטח (,, z נתון ע"י (, ) ) F(,, z ) (,, z z ) r (,, ) (,, z z ) דוגמא: נמצא מישור משיק לגרף של פונקציה z,, z ( ) + ( )( ) ( ) הגרף של המשיק בנק,, z z z z + + (r> (,, ) + + דוגמא: F z z r נחפש מישורים משיקים לספירה המקבילים למישור מקביל לציר (עבור מתאר ספירה במרחב עם רדיוס הגרדיאנט בנקודה שניצב למישור יהיה (,, ) (,,z ) (,, ) (,, F z) z F z, ו z ± r הנקודות בספירה בהן המישור המשיק מקביל לציר הן - z כלומר - (,, ± r)

74 d X + c n+ n d + C n+ cosd sin+ C אינטגרלים a d a + gd + g ( ) ( ) g d g g d ( ϕ) ϕ d t dt dtϕ d (( g) g+ g ) tϕ( מתקיים פירוק: חלקים: (נובע מ הצבה: עבור ולכן בואו ונעשה קצת אינטגרלים: cos sin ( sin)( + sin) ( sin ) d d + sin + sin + sin d sin + cos+ C, g sin, g cos sind cos cos d cos+ sin+ C 6 cos d 6 sin sin d 6, 6 g cos, g sin ( 6 ) sin 4cos ed e e e e + C, g e, g e

75 e cos d e sin e sin e, e e, e g cos, g sin g sin, g cos ( sin + cos) e sin e cos+ e cos e sin sin+ cos e cosd e cosd e sin+ cos + C e e cosd + C d d + arctan arctan arctan arctan ln + + C arctan + g g שיטת ההצבה ( h( ) ) h ( ) d t h( ) ( t) דוגמא עבור a dt cos a+ b d cos t cos t dt sint+ C dt ad a a a t a+ b sin ( a+ b) a + c dt d a dt lnt + C t dt dt d lnt + C ln + + C t + + dt d t t dt d dt t cos sin cos sin t cos d t tdt + c + C sin dt sin d dt d sin sin sin dt dt tan d d lnt + C ln cos + C cos t sint t t cos dt d sin 5d 5 dt 5 dt 5 5 t ( ) ( ) dt t t t d dt d 4

76 t dt t t e d e edt e + c t dt d cos5 cos5 dt dt ln t + c sin 5 t 5cos 5 5 t 5 d t + sin5 dt + 5cos 5 d ln + cos5 + c 5 dt ( t+ ) tdt d t t t+ dt d 5 t t + t dt t + t t + t + C ( ) + ( ) + C t t t d tdt dt + t + t + t + + t t d tdt dt dt t + t arctan t + c arctan + C a d a a sin tacostdt a sin t acostdt asint d a cos tdt cos( t) + a a cos cos( ) cost+ a tdt a t dt+ dt cos ( t) a a sin( t) + t+ C 4 a a sin t sin t cos t sint sin t כעת, נזכור כי לאינטגרל המקורי, ונקבל: נחזור a a + arcsin( ) + C 4 a a

77 87 תרגול d d d d ln+ ln+ c d + d + ( + ) d d d + ln + ln ln+ + c d ( ) d+ + d H( ) + Ri( ) R H k i משפט: לכל פונקציה רציונלית ( )R פולינום ו או קיימת הצגה כאשר כאשר אי פריק + b+ c i R B+ C + b+ c i R A λ Aln λ, n A n d A n, n n ( λ) ( λ) n ( λ) A ( λ) A n+ n+ ומה האינטגרלים שלהם? B+ C B + b bb d d d+ C ( λ + b+ c) ( + b+ c) ( + b+ c) m m m d dt m ( + b+ c) ( t + ) m t b + b c ע"י הצבה מקבלים ע"י אינטגרציה בחלקים, מקבלים את נוסחת הנסיגה הבאה: dt t m dt m m + m + t m t + m + t מתקיים:

78 b b + + b+ c c + b c b + b b b c שכן - c b b c + b c התלבלבנו, לכן מחדש - b b b b + b+ c + b+ + c + + c 4 b b b c 4 c b 4 c t + dt t m dt + ( + t ) ( m )( t + ) m ( + t ) dt + t m m m arctan t + c R P Q b + t b c 4 עבור זה שווה ל- ע"י אינטגרציה בחלקים נקבל את נוסחת הנסיגה כעת יש לנו את האינטרגלים של כל הפונקציות הבסיסיות אם ודרגת P גדולה או שווה לדרגת Q אזי ע"י חלוקת פולינומים נקבל פונקציה רציונלית עם דרגת מונה קטנה יותר

79 לדוגמא: עבור נבצע חילוק פולינומים (אין לי כוח להעתיק), ונקבל , ואז: ( + )( ) + ( ) ע"י חלוקת פולינומים נקבל דוגמא נוספת ( 4 8) + + ולזה אנחנו אמורים לדעת כבר לעשות אינטגרל λ λ אזי קיימים ו ) λ ( λ)( Q( ) Q,Q טענה: אם דרגת P קטנה מדרגת P A A כך ש λ + λ + כאשר A, A ( + ) + A ( ) ( )( ) 6 A ( )( ) דוגמא: 6 A + קיימים A, A כך ש A + איך מוצאים את זה? גורם משותף A ( ) 6 A + + עבור מתקבל A 6 A + A 6 עבור מתקבל A 6 A ועל כן + אם λ מאפס את הפולינום אזי λ) ( מחלק את הפולינום A, A, A ( ) ב Q 5 דוגמא אחרת - + שורש של Q ולכן נחלק את מתקיים A A A ש + + ועל כן ולכן קיימים כך 5 A A + + A +

80 נשים לב שזה הפירוק עבור פולינומים שמתפרקים לגורמים לינאריים עבור פולינומים שלא מתפרקים, + לדוגמא עבור, נעבוד כך: P A B+ C + Q λ + + b c ABC,, ( λ)( b c) אם + + Q אזי קיימים כך ש כלומר - A B+ C קיימים,, ABC לדוגמא: עבור כך ש ( + ) A + + B+ C כעת נציב, ונקבל נבדוק עבור נקבל כי A + B + C ( B ) + C B B ונראה כי C + + d + d + d d + ( + ) + + ln * ln + ln + + arctan( ) + C + d * d ln d+ arctg arctan ( + ), Q אזי אפשר לפרק + A B+ C B+ C עוד דוגמא אם A A B+ C B+ C ( )( + ) ( )( + ) + ( + ) A( ) ( B C )( )( ) ( B C )( ) A, B, C, B, C ( ) ל כעת נחשב את ועל כן:

81 + + + ( )( + ) + ( + ) ln d + d C + d d+ d ( + ) ( + ) ( + ) + d + + d + d, ( + ) + + ( ) ( + ) + ( + + ) g, g + d d + + d + ( ) ( ) ( + ) d d + + arctan + C ( )( + ) d C + + ln ln arctan ( ) עם כל התובנות הללו, נחזור לאינטגרל המקורי

82 57 הודעות: הבוחן יהיה ביום חמישי, בשעת ההרצאה, ולא בתרגול יהיה תרגול חזרה בשבוע הראשון של החופש, שיעור חזרה בשבוע האחרון בתרגול שעבר ראינו אלגוריתם לאינטגרציה של פונקציות רציונליות באלגוריתם גם בפונקציות רציונליות של, cos,sin ע"י הצבות לדוגמא: אמרנו שאפשר להשתמש cos cos + cos t + dt t t sin ( ) d tan t cos + t + tan tan t sin + t + tan arctan d + t t tan ( t) dt d, ואז נקבל: sin t tan t, אזי אם נציב cos וזה לא עוזר לנו תמיד אפשר להציב פונקציה רציונלית ב מתקיים ניתן להעביר לפונקציות רציונלית בt ע"י ההצבה כל ועל כן, sin,cos a tan( t) t tan asint a cos t - הצבה - הצבה עוד כללי הצבה חשובים - הצבה מהצורה - הצבה מהצורה R( cos,sin) (, ) (, + ) (, ) R a R a R a

83 a + b+ c - (, + + ) R a b c a + b+ c a λ a הצבות אוילר במקרה של היא רציונלית, ועל כן אין צורך בהצבה - אם לוקחים b+ a + אי פריק c a + b+ c t a a a + b+ c a λ λ במקרה של שני שורשים - (λ (כן, אפשר להציב + + a b c t λ a נציב d ( ) + + ( )( ) + λ, λ ( + )( ) t( + ) t + + t + t + t d t t t t 6 dt t t ( ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) t ( ) ( ) t + t + t + t + t t דוגמא: נציב קיבלנו הרבה ביטויים של t נציב, ונקבל כי האינטגרל המקורי שווה ל: 6t 6tdt dt t + t ( t ) ( t )( t + t+ + ) t t 6tdt t t+ t+ מכאן אפשר להמשיך עצמאית

84 b a d האינטגרל המסוים (אם קיים) הוא השטח מתחת לגרף הפונקציה בקטע עבור, :[ ab, ] R האינטגרל [ ab, ] d, d דוגמאות:, Q D( ) דוגמא לפו לא אינטגרבילית:, Q נשים לב, כי הפו הבאה אינטגרבילית (חסומה ומונוטונית אינטגרבילית):, ( ), n n+ n הערות: (כל ההערות בקטע) a אם אינטגרבילית, אזי רציפה, אזי חסומה אינטגרבילית חסומה ובעלת מספר סופי של נקודות בהן היא לא רציפה אזי אינטגרבילית i אם מונוטונית וחסומה, אזי אינטרגבילית אם b אם c איך מחשבים אינטגרל מסוים? בעזרת אינטגרל לא מסוים, כמובן! המשפט היסודי: תהי אינטגרבילית בקטע ], ab [ ותהי ( )F פונקציה קדומה של (פרט למספר סופי של נקודות) והיא רציפה ב[, ab [ בקטע אזי b a d F b F a F b a π cosd sin π + d ( + ) 8, < ( ),,< ולכן אינטגרבילית ב [, ] + d d d ( ) דוגמא: חסומה, ובעלת מספר סופי של נק אי רציפות קדומה רציפה ב (, ( קדומה רציפה ב (, ( היא פו היא פו F( ) F

85 ( ) d ( ) d F( ) F ( ),(,) + +, F( ),< 4 4 d נשים לב שאם נסתכל על מלבד הנקודה F היא פונקציה קדומה של בקטע אנו רואים כי היא לא עוזרת לנו,(,) - F לחשב את האינטגרל, כי היא לא רציפה (ב ) +, ( G )G היא פונקציה קדומה של נתבונן ב,< הנקודה אבל היא רציפה על פני כל הקטע, ועל כן בקטע מלבד G ( ) 4 עוד קצת אינטגרלים: ראשית נמצא פונקציה קדומה : d + d arctan arctan t t t + c + c + π d arctan + ועל כן נשים לב, שאחרי ההצבה של t, החזרנו את זה לפונקציה של לא חייבים לעשות את זה b ( ) b b a a a + g d d+ אינטגרציה ע"י פירוק: g d אינטגרציה בחלקים: אם g, g,, רציפות ב[, ab [ אזי b a b b a a g d g g d mn N, π ( n ) cos cos זה עובד גם עבור הצבה דוגמא: m d עבור שונים מ nd d n d π π π cos cos( ) cos t cos t π π π sin ( n) 4n m אם n אז

86 π, m n π n π cos( n) cos( m) d cos( n) sin m + sin( n) sin( m) d cos n, nsin n m m g cos m, g sin( m) m π π π sin ( n), ncos( n) sin cos cos cos cos sin m m + g sin ( m), g cos( m) m m m אחרת, n n n n m n m d n md קיבלנו כי האינטגרל המקורי שווה לכפולה שלו, ולכן הוא שווה לאפס, [, ] t α β, ϕ t גזירה ברציפות ומקיימת ], ab ( t) [ b β ( ϕ) ϕ a α ϕ ϕ( t) אינטגרציה ע"י הצבה אם רציפה ב[, ab [ ו a b ו אזי לכל (זוהי הצבה t ( + ) dt d ( t) dt d d t t dt dt + + t 6 d, ϕ( β) ( ϕ ϕ α ואז d t dt דוגמאות: a a >, a ϕ,, π ϕ היא גזירה ברציפות ומקיימת a ( ) a a sin t a cost d acostdt π π a cos cos cos π t cost a t aπ + sin 4 π t sin ϕ t a t π נשתמש בהצבה ולכן נחשב בין ל ועל כן מתקיים a a t tdt a tdt π ( ) d sin t sin cos t dt dt cosd dt d cos דוגמא נוספת: נכון תמיד עבור רציפה המשפט היסודי השני: אם רציפה ב[, ab [ המוגדרת ע"י אזי קיימת לה פונקציה קדומה ב ), ab ( והפונקציה ( היא פונקציה קדומה של ב ), ab a F t dt F :[ ab, ] R

87 [ ab, ] sin,, sint dt t דוגמא: את ) הפו רציפה, ולכן קיימת לה פו קדומה בכל קטע היא כזו (שלא מכיל d d sint sin F( ) dt ( ) a d d t F נקבל, אז G F h sin sin G ( ) F ( h( ) ) h ( ) נסמן h sint dt t נתבונן ב עוד דוגמא: F + t dt + t dt + + t dt + t dt + t dt ( ) ( ) + + ψ ϕ F ( ) d d, כללי באופן אזי ( ψ ) ψ ( ϕ) ϕ F

88 >,ε אזי b>, ואז a [ ab, אינטגרבילית ב[ 7 תרגול 4 האינטגרל הלא מסוים הגדרות I קטעים לא חסומים:אם לכל [ a+ε, b] אינטגרבילית בקטע a lim b a d b d פונקציות לא חסומות: אם לכל b b d b b b b a b lim + a+ ε d ε d דוגמאות: lim lim lim + b b d lim d lim lim ( b ) b b b (במקרה זה נאמר שהאינטגרל מתבדר) b b sin d lim sin limcos b b a II במקרה זה הגבול אינו קיים) הערה: אפשר להגדיר באופן דומה, וכיד הדמיון הטובה עליך d d d+ ( + ) ( + ) ( + ) d b d lim + lim lim + lim + + a + b ( + ) ( + ) a a b a b lim lim b lim lim d d d a b a a b a b ε ε ε ( ε) d d lim lim + + במקרה זה נאמר כי לא קיים האינטגרל d c d lim d חשוב לשים לב: lim c d d lim lim lim ε ε + ε ε + ε + ε c c

89 d d d + 6 unction not declared at ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( a ) d lim lim lim + b ( ) ( b ) b b b b ( ) ( ) d + a + a a lim lim dd [,] [,] אינטגרלים כפולים השטח של, ) ( במלבן (, ) [ ] [ α β] תהי : D ab,, R אינטגרבילית נסמן רציפה לכל מתקיים פונקציה רציפה של ולכן b ( ) (, ) a A d β b β b (, ) dd (, ) α a α a [,] [, ] פונקציה רציפה של ולכן קיים האינטגרל β (, ) (, ) α b b b β a a α a A( ) A d d d dd d d באופן זהה נגדיר אותו כ: מה אומר פוביני? משפט: אם רציפה אזי [ ] [ ] R b β (, ) (, ) a α : D ab, α, β β b α a (, ) + dd dd דוגמא: נחשב את נפח הגוף הנוצר ע"י מעל המלבן 4 ( + ) dd + ( 4) 4 d + + d 4 + d פוביני a b D g( ) g( ) [ ] אם g, g : ab, R ו

90 ( ) (, b g( ) ) da (, ) a g D d d D (, β h( ) ) (, ) α h da dd α β D h( ) h( ) באופן דומה אם אזי תרגיל: יהי D התחום החסום ע"י ציר ה, ציר + והישר g( ), ו g( ), da (, ) D g g (, ) D (, ) dd D ) (, בתחום D החסום ע"י הפונקציות D אפשר להציג זאת - ועל כן dd אפשר להציג זאת גם כך דוגמא: נחשב את האינטגרל של נצייר ונראה : ועל כן אפשר להציג זאת כך: D

91 D (, 5 ) ( 5 5 ) ועל כן da d d d d D D אפשר כמובן לעשות זאת בצורה אחרת:, 5 ( 5 5 ) da d d d d r קואורדינטות פולריות (, כל נקודה ( מהראשית, ו θ זה הזוית שנוצרת ( r, בהצגה קרטזית אפשר להציג בהצגה פולרית כ (θ כאשר זה המרחק r cosθ r sinθ + r D D {(, ) r r r, θ θ θ } (, r ) θ ( cos, sin ) r עבור אזי da r θ r θ rdθdr θ D D e ln( ) + da על e D + D e r e D + D D (ולכן כדאי לעבור לקוארדינטות פולריות) ואז π θ π π e lnr e lnr π (, ) ln e π da rdθdr dθdr r r r 4 4 דוגמא: מתקיים כי